基于数字随动系统的PWM装置数学模型分析

摘要：通过分析SKJ-II型数字随动系统中PWM装置的工作原理，建立了模型公式并推算出理论传递函数关系。根据模型公式得到了PWM装置系统化的理论传递函数，并通过实验验证了理论传递函数的正确性，并指出模型中电源电压需要考虑开关的管压降问题。对于应用PWM技术进行功率变换的控制系统的建模有理论指导意义。

关键词：数字随动系统；控制器；数学模型

1 引言

目前，直流PWM调速系统凭借开关频率高，低速运行稳定，动态性能优良等优点，应用日益广泛，特别是在中、小容量的高动态性能系统中。

PWM控制与变换器(简称PWM装置)是直流脉宽调速系统中的重要组成环节，而对于PWM装置的数学模型，文献中仅给出最后近似的传递函数，并未解释其中框图变换的过程和参数分析。SKJ-II型数字随动系统内部含有调速环，其中就包含PWM装置，这里基于该系统中使用的PWM装置模型进行拓展分析，以便获得其模型的推导及变换过程，为PWM装置模型提供必要的理论依据。

2 模型建立与框图分析

SKJ-II型数字随动系统的结构如图1所示。功率放大器环节起到PWM控制器和PWM变换器的作用。

为了方便研究，将功率放大器环节内容分为两步，分别简称为PWM控制器和H桥，UX11(s)信号作为PWM装置的输入，Ud(s)为PWM装置的输出，ρ(s)为中间量。

2．1 静态分析

实现PWM控制器的电路如图2所示。预建立PWM装置的模型，先确定其输入信号，输入信号为UX11(X11端输入信号)，该信号由系统前端的电流调节器的输出决定。图中，XJ7端为三角波发生电路的输出端，三角波发生电路中运算放大器A1：A构成加法器，运算放大器A1：B构成反向积分器，电位器P2主要用来控制产生的三角波的频率，2DW232是双向稳压二极管，起了限幅的作用。运算放大器A3：A以及外围电阻构成了一个反相加法放大电路，由于放大倍数较大，故小信号时才线性放大，大信号时会工作在非线性饱和状态。

当X11端输入信号接地，即UX11=0 V时，利用GDS1102A数字示波器测量XJ7端和X12端的波形，分别记为uXJ7和uX12，两者波形如图3所示。

当uXJ7较小时，反相放大倍数为50；当uXJ7较大时，运算放大器A3：A会饱和，输出波形是正负对称的梯形波，但图中输出波形很接近矩形波，称该梯形波为近似矩形波，其占空比是50．81％。

PWM控制是对脉冲的宽度进行调制的技术，在此通过调制近似矩形波的占空比来实现PWM控制。当X11端输入电压信号，则近似矩形波占空比会产生相应改变。当运算放大器A3：A工作在线性状态，忽略调零通路作用，则流过R18电流为零，规定电流经R21，R20，R17一端流向R21，R20，R17的公共端为电流的正方向，并假设运放为理想运算放大器，根据KCL定理可得：

iR21+IR17+iR20=0 (1)

根据理想运算放大器的性质可知UA3_2=0 V，由欧姆定律可得：

分析X11端输入UX11为零时情况，记X12端饱和输出电压为+U0。当uX12=-U0(即负饱和)时，代入式(3)可得：uXJ7=U0R21／R20；当uX12= U0(即正饱和)时，代入式(3)可得：uXJ7=-U0R21／R20。记XJ7端输出三角波的幅值范围为[-U1，U1]，周期为T，则有X12端输出梯形波单个周期的线性放大时间t1、输出正饱和时间t2、输出负饱和时间t3为：

t1=(R21U0)T／(R20U1)，t2=t3=0．5(T-t1) (4)

按照矩形波占空比的定义，则有PWM控制器输出矩形波的占空比为：

当然，实际输出波形并非理想的矩形波，而是梯形波，具体梯形波如何描述占空比暂且不讨论，假设各周期内线性区工作时间t1相对于这个周期的总时间T非常小，则可忽略其线性区时间t1，则X12端输出矩形波的占空比ρ=t2／(t2+t3)=0．5。

由上述推算可以得到结论：当输入UX11=0 V时，若uXJ7为正负对称的理想三角波，则运放器A3：A的反相端输入信号(R20／R21)uXJ7依然为正负对称的三角波。X12端占空比为50％，即输出负饱和时间与输出正饱和时间相等，实验测试结果如图3所示，示波器中显示占空比为50．81％，有1．62％的误差，除了示波器的测量误差还应注意此处计算占空比忽略了线性区时间t1。

2．2 动态分析

实际PWM控制器输入端是uX11，即电流控制器的输出，PWM控制器输出端是ρ，静态分析时uX11=0 V，输出ρ=0．5，动态工作时，ρ会随uX11变化而变化，取拉普拉斯变换，则输入记为UX11(s)，输出记为ρ(s)，中间信号记为UX12(s)和UXJ7(s)，则式(3)可以改写为：

动态分析时，UXJ7仍然输入正负对称的三角波，但X11端输入UX11(s)不为零。

当UX11(s)>0时，由线性叠加定理可知，式(6)中R20UXJ7(s)／R21+R20UX11(s)／R17波形会上抬，成为正三角时间长而负三角时间短的正负不对称三角波，反相限幅后输出负饱和的时间比输出正饱和的时间长，即PWM控制器输出负饱和的时间比输出正饱和的时间长。当UX11(s)增大到正临界值UX11max时，刚好不出现线性区，更无正饱和，仅有负饱和，则满足：

综合式(9)和式(12)可得：若满足输入UX11(s)在[UX11max，UX11max范围内，则运放器A3：A以及外围电路构成的PWM控制器输出的占空比ρ(s)随着UX11(s)变化，超出该范围则ρ(s)饱和(即ρ要么为0，要么为1)。当UX12(s)=-U0(即负饱和)时，代入式(6)可推算此时XJ7端三角波信号满足：

若XJ7端三角波为理想的三角波，当UX11(s)>UX11max或UX11(s)<UX11min时，运放器A3：A完全工作在饱和区，此时XJ7端三角波信号UXJ7(s)在[-U1，U1]全范围内，X12端输出矩形波占空比ρ(s)要么为0，要么为1；当UX11min<UX11(s)<UX11max时，X12端输出UX12(s)的占空比ρ(s)与X11端输入信号UX11(s)之间为线性关系，即为式(17)。

SKJ-II型数字随动系统中使用了桥式可逆PWM变换器，其供电电源为Us，则输出电压Ud(s)与ρ(s)之间的关系为：

Ud(s)=Us[2ρ(s)-1]             (18)

SKJ-II型数字随动系统元件参数：R17=22 kΩ，R20=20 kΩ，R21=1 MΩ，经示波器测量图4所示X12端饱和输出电压±11．6 V，三角波幅值范围为[-5．15 V，5．15 V]，代入式(17)可得：

ρ(s)=0．5-0．092 4UX11(s)     (19)

通过等效变换，PWM装置的传递函数Ud(s)=-0．184 8UX11(s)，相当于一个反向比例放大环节。

3 实验验证及公式修正

基于SKJ-II型数字随动系统，就PWM控制器电路和H桥电路的模型分别进行实验验证。实验中为降低难度不直接用力矩电机做实验，采用100 Ω滑线变阻器作为负载。输入信号UX11(s)由系统前端电流调节器的输出决定，H桥电路的输出Ud(s)为X16端与X17端之差，输出Ud(s)的占空比记为ρ(s)。测量X11端输入信号UX11(s)分别为1 V，2 V，3 V，-1 V，-2 V，-3 V时，输出X16端与X17端的波形数据，如表1所示。

ρ(s)修正参数定义为：△ρ=[1-ρ(s)测1-ρ(s)测2]／2，则修正后的占空比ρ(s)=ρ(s)测1+△ρ。一方面，假设GPWM(s)是PWM控制器传递函数，则：

ρ(s)=0．5+GPWM(s)UX11(s)       (20)

将上式变换可得：GPWM(s)=[ρ(s)-0．5]／UX11(s)。根据表1可得：当UX11(s)=1 V时，GPWM=-0．091 2；当UX11(s)=2 V时，GPWM=-0．092 5；当UX11(s)=3 V时，GPWM=-0．091 8；当UX11(s)=-1 V时，GPWM=-0．095 1；当UX11(s)=-2 V时，GPWM=-0．093 3；当UX11(s)=

-3 V时，GPWM=-0．092 2。

另一方面，电源电压为Us时，Ud(s)=2Usρ(s)-Us。但实际上H桥还要考虑开关管的管压降，记△U为管压降。当电源电压为Us’时，则：Us=Us’-△U。那么，Ud(s)=2Usρ(s)-Us可以表示为：

Ud(s)=[2ρ(s)-1](Us’-△U)      (21)

由上式可得：

△U=Us’-Ud(s)／[2ρ(s)-1]      (22)

万用表测得Us’=22．9 V，根据表1的数据和式(22)可得：当Ux11(s)=1 V时，△U=0．147 8 V；当UX11(s)=2 V时，△U=0．419 6 V；当UX11(s)=3 V时，△U=0．312 3 V；当UX11(s)=-1 V时，△U=0．348 1 V；当UX11(s)=-2 V时，△U=0．451 7V；当UX11(s)=-3V时，△U=0．4 226V。

根据GPWM平均值得ρ(s)实验式为：

ρ(s)测=0．5-0．092 7UX11(s)    (23)

式(23)与式(19)比较，误差为0．325％。

根据△U的平均值可得Ud(s)实验公式为：

Ud(s)测=[2ρ(s)-1](Us’-0．365 35)     (24)

将式(24)与式(18)比较可得，实际的电源电压Us是考虑了开关管的管压降后的电源电压。将式(23)代入式(24)，可得：

Ud(s)测=-0．185 4UsUX11(s)            (25)

其中，Us=Us’-0．365 35=22．534 6，将式(25)与Ud(s)=-0．184 8UX11(s)比较，误差为0．325％，与ρ(s)的误差一致。但是PWM装置的响应会有延迟，假设延迟时间为ts(t<T)，则PWM装置的传递函数式为：。

4 结论

首先基于SKJ-II型数字随动系统，针对系统中的功率放大器环节，建立其数学模型，根据具体电路中的器件参数定量计算模型参数，确定具体的理论公式，并最终得到输入输出之间的传递函数关系式。清晰地分析证明了在一般的电力拖动自动控制系统中PWM装置可近似看成是一个带有纯滞后的比例环节。最后通过实验，进一步验证了理论推导的准确性。