关于卷积的概念及数字控制执行过程

正巧看到同事在发卷积的内容，由于以往这些概念基本上都还给老师了，今天也重新温习一下，以便更好的去理解一些电源控制的问题。去网上看了一下，看到一位知乎网友发的理解，我觉得很不错，结合自己的理解拿过来这里分享一下。

一.关于卷积概念的基本理解

首先，从基本概念上宏观概括一下什么是卷积，一般来说，一个输入信号f(t),经过一个线性系统，这个线性系统可以用单位冲击响应函数g(t)描述，那么，某一个时刻，系统的输出信号是什么？我们就可以通过卷积来求解。

事实上，卷积就是一个先翻转，也就是“卷“，再滑动叠加的过程，也就是“积”。在连续的时域时，就是对两个函数的乘积求积分，而在离散的情况下，就是对两个函数的离散值进行加权求和，总之是进行一个叠加过程。

前面解释了什么是卷积，那么如果对应多次这样的过程，也就得到了多个这样的叠加值，所以这就是卷积函数。

从上面的基本概念来看，其实卷积的“积”就是一个叠加值，是一个混合的全局的结果，以信号分析上看，当前时刻系统的输出值，不仅和当前信号的输入值及响应相关，还和过往一切时刻的输入值及其响应相关，卷积结果就是一种对信号和系统响应进行时间上“混合”的结果。

另外一个问题，为什么要进行卷呢，直接相乘不就行了吗，实际上，“卷”是为了给卷积增加一些限制，否则时间机器无穷无尽，绵延不断，到底从哪里哪个时刻开始"积"呢？

二.卷积的信号响应案例分析

图1 信号输入函数及时间响应函数

假定，时间输入函数f(t)是随时间变化的，系统响应是g(t)，也是随时间变化的，且随着时间衰减。它的物理意义是对于一个0时刻的输入信号f(0),随着时间的流逝，系统输出将不断衰减，到了t=T时刻，则输入信号在系统输出衰减为f(0)*g(T)。

由于时间机器是源源不断输入新的信号的，所以输出信号也将源源不断地更新，最终系统输出信号即是所有输入信号的响应叠加的结果。

图2 t=T时刻系统输出卷积叠加结果

在图2中，因为时间到了T时刻，由于它是刚输入的信号，f(T)时刻的输出为f(T)*g(0)，f(9)是前一次刚输入的信号，则输出信号为f(T-1)*g(1),f(8)是再早些时间输入的信号,所以其输出是f(T-2)*g(2)，依此类推得到系统在t=T时刻，f(t)和g(t)卷积的结果。

图3 卷积的卷的理解

从图2上看，叠加过程看上去是拧在一起的，而其实一个重点就是，相对于T时刻的输入来说，前面的输入信号都相当于是历史的输入信号，我们将g(t)函数进行历史的方向卷一下，即变为g(-t)，这样就看起来顺了一些。

图4 卷积过程的平移

原来的响应函数g(t)虽然卷了过来，但是实际意义还是体现的不够合理，那么再将它平移T个单位，这也就是我们所要求的时刻的响应，g(t)再变为g(T-t),那么当前的0时刻就是最新的输入信号f(T)的响应g(T),前一次的输入，就是次新输入信号f(T-1)的响应g(T-1)，再前一次的输入f(T-2),对应的响应函数是g(T-2)，所以卷积过程为f(T)*g(T)+f(T-1)*g(T-1)+f(T-2)*g(T-2)…f(0)*g(T-T).

所以，综合理解就是，要想求出T时刻的卷积，即综合叠加结果，必须要对T时刻的历史输入及响应做叠加，所以卷的过程和平移的过程就是去追述历史的过程，把当前时刻T作为起始，其它时刻都是历史时刻，这样通过历史的输入及响应函数，就可以得到T时刻的系统响应。

三.数字控制在DSP中的叠加过程

图5 数字控制中信号转换过程

图5所示，是一个典型的数字控制电源的信号转换示意图，此系统给一个数字参考（用离散值表示），如左上角Vref(n)所示，和系统输出的电压Vout经过数字化采样即ADC采样之后的结果（此ADC转换结果为各个时刻的离散值）进行比较，产生误差信号就作为数字补偿器Hc(z)的输入信号，数字补偿器实际上可以理解为一个离散域的线性系统，输入信号经过它之后就可以产生一个新的控制信号，去对占空比产生相应的更新动作。

图6 新控制量的产生过程

这里以三型补偿器为例说明，可以用来补偿电压模式控制BUCK电路。我们将（A1,A2,A3）,（B0,B1,B2,B3）认为是表达补偿器特性的函数H1(n)，H2(n),而u(n)是新的控制量，u(n-1)是上一时刻的控制量，依此类推，e(n)为新的误差，e(n-1)为上一时刻的误差，依次类推。对于补偿器系统来说，误差量e(n)是系统输入，随着时间机器流转，它会源源不断输入新的误差，同时对于n时刻而言，除了e(n)也会累积若干旧的误差，e(n-1),e(n-2)等，而控制量也会随着时间的流逝，不断累积旧的控制量u(n-1),u(n-2)等，而新的控制量u(n)的得出，是由历史的误差离散函数E（n）和历史的控制量离散函数U（n）对补偿器特性函数产生的叠加结果,这也可以看成一个H1(n)和U(n)={u(n-1),u(n-2),u(n-3)}做一次卷积，而同时H2(n)和E(n)={e(n),e(n-1),e(n-2),e(n-3)}做一次卷积，二者相加就得到最新的控制量u(n)，由此可以看出，新的控制量离不开历史的控制量，历史的误差，及补偿器的特性函数，它是这几个因素叠加的结果。用到的历史量越多，补偿器的阶数就会越高。

总结，本文以卷积为出发点，引申到数字控制的三型补偿器（3P3Z)的新控制量的得出过程，即线性差分方程计算的过程，希望能够帮助理解数字控制的执行过程，后续我们会详细探讨电源的数字化过程。